“Formula de interpolación de Lagrange”

 

¿Pueden ajustarse tres o cuatro datos por medio de una curva? Uno de los métodos fundamentales para encontrar una función que pase a través de datos es el de usar un polinomio.

La interpolación polinomial se puede expresar en varias formas alternativas que pueden transformarse entre sí. Entre éstas se encuentran las series de potencias, la interpolación de Lagrange y la interpolación de Newton hacia atrás y hacia delante.

Un polinomio de orden N que pasa a través de N + 1 puntos es único. Esto significa que, independientemente de la fórmula de interpolación, todas las interpolaciones polinomiales que se ajustan a los mismos datos son matemáticamente idénticas.

            Suponga que se dan N + 1 puntos como

 

                          Xo    X1    ...    Xn

                          fo      f1     ...    fn

            Donde X0, X1, . . . son las abscisas de los puntos (puntos de la malla) dados en orden creciente. Los espacios entre los puntos de la malla son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N + 1 puntos se puede escribir en una serie de potencias como

 

                        g(x) = a0 + a1x + a2x*2 + . . . + aNx*N

           

            Donde los ai son coeficientes. El ajuste de la serie de potencias a los N + 1 puntos dados da un sistema de ecuaciones lineales:

 

                       f0 = a0 + a1xo + a2xo*2 + . . . + aNx0*N

                     

                      f1 = a0 + a1x1 + a2x1*2 + . . . + aNx1*N           

                      .

                   .

                   .

                      fN = a0 + a1xN + a2xN*2 + . . . + aNxN*N

 

         Aunque los coeficientes ai pueden determinarse resolviendo las ecuaciones simultáneas por medio de un programa computacional, dicho intento no es deseable por dos razones. Primera, se necesita un programa que resuelva un conjunto de ecuaciones lineales; y segunda, la solución de la computadora quizá no sea precisa. (Realmente las potencias de xi en la ecuación pueden ser números muy grandes, y si es así, el efecto de los errores por redondeo será importante.) Por fortuna, existen mejores métodos para determinar una interpolación polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre éstos están la fórmula de interpolación de Lagrange y la fórmula de interpolación de Newton hacia delante y hacia atrás.

         Para presentar la idea básica que subyace en la fórmula de Lagrange, considere el producto de factores dados por:

                     V0(x) = (x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)

 

         Que se refiere a los N + 1 puntos antes dados antes. La función V0 es un polinomio de orden N de x, y se anula en x = x1, x2, . . ., XN, Si dividimos V0 (x) entre V0 (x0), la función resultante

 

                                        (x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)

                 V0(x) =  (x0 – x1)(x0 – x2) . . .(x0 – xN)

 

         toma el valor de  uno para x = x, y de cero para x = x1, x = x2, . . . , x = xN. En forma análoga, podemos escribir Vi como

 

                                 (x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)

                  Vi(x) =  (xi – x0)(xi – x1) . . . (xi – xN)

 

         donde el numerador no incluye (x – xi) denominador no incluye (xi – x). La función Vi(x) es un polinomio de orden N y toma el valor de uno en x = xi y de cero en     x = xj, j no pertenece a i. Así, si multiplicamos V0 (x), V1 (x), . . . , VN (x) por f0, f1, . . . , fN, respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más N e igual a f1 para cada i = 0 hasta i = N.

         La fórmula de interpolación de Lagrange de orden N así obtenida se escribe como sigue (Conte / de Boor):

 

                                  (x – x1)(x – x2) . . . (x – xN)       f0    

                   g (x) = (x0 – x1)(x0 – x2) . . . (x0 – XN)

 

                            +    (x – x0)(x – x2) . . . (x – xN)       f1

                                (x1 – x0)(x1 – x2) . . . (x1 – xN)

                            .

                            .

                            .

                                +    (x – x0)(x –x1) . . . (x – xN-1)      fN...........................Ec 1

                               (xN – x0)(xN – x1) . . . (xN – xN-1)

 

         La Ec 1 es equivalente a la serie de potencias que se determina resolviendo la ecuación lineal. Parece complicado, pero incluso la memorización no es difícil si se entiende la estructura.

 

EJEMPLO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE  APLICADO EN LA INGENIERÍA QUÍMICA.

 

a)      Las densidades del sodio para tres temperaturas están dados como sigue:

 

i

Temperatura

Ti (x)

Densidad

Pi (f)

0

94º C

929 kg/m3

1

205

902

2

371

860

         Escriba la fórmula de interpolación de Lagrange que se ajusta a los tres datos.

b)      Determine la densidad para T = 251º C utilizando la interpolación de Lagrange (al calcular el valor de g (x), no desarrolle la fórmula en una serie de potencias).

Solución.

 

a)      Ya que el número de datos es tres, el orden de la fórmula de Lagrange es N = 2. La interpolación es Lagrange queda:

 

                                             (T – 205)(T – 371)   X (929)

                             g (T) =   (94 – 205)(94 – 371)

 

                                         +    (T – 94)(T – 371)   X (902)

                                          (205 – 94)(205 – 371)

 

                                         +    (T – 94)(T – 205)   X (860)

                                          (371 – 94)(371 – 205)

b)      Sustituyendo T = 251 en la ecuación aterior, obtenemos

                     g(251) = 890.5 kg/ m3

 

(Comentarios: al evaluar g (x) por un valor dado x, no se debe desarrollar la fórmula de interpolación de Lagramge en una serie de potencias, porqué no sólo es molesto sino además se incrementa la posibilidad de cometer errores humanos.)

 

 

 

 

Eplicacion 2 del  método

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

 

Tenemos los datos :

 

 

 El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue:

 

 

Donde  los polinomios   se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

 

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si   y   para toda  .

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si   y    para toda  .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición   se cumple si   y     para toda  .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio  . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para  :

                               y   ,  para toda 

Por lo tanto, planteamos    como sigue:

  

   Con esto se cumple la segunda condición sobre  . La constante  c  se determinará para hacer que se cumpla la primera condición:

 

           

 

Por lo tanto el polinomio   queda definido como:

      

 

Análogamente se puede deducir que:

 

                                   ,   para 

 y formula expresada mas fácilmente es la siguiente:

 
 

 

 

 

 

 

 

 


EJEMPLO:

Calcular el polinomio de Lagrange  usando los siguientes datos:

 

 

 

 

i

0

1

2

3

f(xi)

1

-1

3

-2

x

-2

0

2

4

 

 

 


Pn(x)=(L0(x)*1)+(L1(x)*-1)+(L2(x)*3)

 


L0=

 

L1=

 

L2=

 


L3=

 


L0==

 

L1==

 

L2==

 

L3==

 

 


P4(x)=

 

P4(x)=

 

P4(x)=

 

P4(x)=

Cuadro de texto: P4(x)=