Interpolación de Newton

Con diferencias divididas

 

Explicacion:
Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

El metodo de interpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.

Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuacion general, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.


La ecuación general para este método es la siguiente:

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que mas se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaria mas o menos asi:

X

f(x)

f(xi,xi)

f(xi,xi,xk)

...

...

x0

f(x0)

f(x1,x0)

f(x2,x1,x0)

 

 

x1

f(x1)

f(x2,x1)

 

f(x3,x2,x1,x0)

 

x2

f(x2)

f(x3,x2)

f(x3,x2,x1)

 

f(x4,x3,x2,x1,x0)

x3

f(x3)

 

 

f(x4,x3,x2,x1)

 

x4

f(x4)

f(x4,x3)

f(x4,x3,x2)

 

 

 

La notacion f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:

,asi como f(x2,x1) es: , esto para b1.

Para b2 la notacion f(x2,x1,x0) es: y asi se van obteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas(en las que aparece la leyenda bn cuando pasas el mouse en el ejemplo de arriba).

Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:

x

f(x)

_

_

_

-3

2

_

7

-1

_

17

9

_

_

_

27

11

_

Los valores de b se encuentran en las celdas que tienen borde rojo.

Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuacion general, se simplifica dicha ecuacion y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos los puntos especificados.

 

http://www.geocities.com/halen_shezar/interpolacion/newtonint.html