Metodos numéricos Ecs. lineales GS-Ejemplo 6

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Ejercicio resuelto 6

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método iterativo de Gauss – Seidel

4x₁ - x₂ = 1

- x₁ + 4x₂ - x₃ = 1

-x₂ + 4x3 –x4= 1

-x3 + 4x4 = 1

Paso 1.

Despejar las variables a calcular:

X₁ = ¼ + x₂/4

X₂ = ¼ + x₁/4 + x₃/4

X₃ = ¼ + x₂/4 + x₄/4

X₄ = ¼ + x₃/4

Paso 2.

Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0]

Paso 3

Se substituye esta solución temporal en las ecuaciones para obtener las nuevas x’s., pero solo cuando no se cuente con la anterior

Iteración 1

X₁ = ¼ + 0/4 = 0.25

X₂ = ¼ + 0.25/4 + 0/4 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

X₃ = ¼ + 0.3125/4 + 0/4 = 0.25 + 0.078125 = 0.328125

X₄ = ¼ + 0.328125/4 = 0.33203125

Se sustituye en alguna ecuación y se observa si el resultado ya es adecuado:

4(0.25) – 0.3125 = 0.6875 <> 1

error = 1 - 0.6875 = 0.3125 = 31.25%

Aun el error es muy grande. Se repite el paso 3, pero tomado los valores obtenidos en la ecuación anterior

Iteración 2

X₁ = ¼ + 0.3125/4 = 0.25 + 0.078125 = 0.328125

X₂ = ¼ + x₁/4 + x₃/4 = 0.25 + .08203125 + .08203125 = 0.4140625

X₃ = ¼ + x₂/4 + x₄/4 = 0.25 + 0.4140625/4 + 0.33203125/4

=0.25 + 0.103515625 + 0.0830078125 =.0.4365234375

X₄ = ¼ + x₃/4 = 0.25 + 0.4365234375/4 =0.25 + 0.1091308594 = 0.3591308594

Se sustituye

4(0.328125) – 0.4140625 = 0.8984495 <> 1

error = 1 - 0.8984495 = 0.1015505 = 10.15%

Mas cerca del 1 pero aun no., se repite el paso 3.

Iteracion3.

X₁ = ¼ + 0.4140625/4 = 0.25 + 0.103515625 = 0.353515625

X₂ = ¼ + 0.353515625/4 + 0.4365234375/4

= 0.25 + 0..08837890625 + 0.1091308594

=

X₃ = ¼ + 0.4475097657/4 + 0.3591308594/4

=0.25 + 0.1118774414 + 0.08978271485 = 0.4516601563

X₄ = ¼ + 0.4516601563/4 = 0.25 + 0.0129150391 = 0.3629150391

Se sustituye

4(0.353515625) – (0.4475097657) = 0.9665527343 <> 1

error = 1 - 0.9665527343 = .0334472657 = 3.34%