METODO DE GAUSS

METODO DE GAUSS.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por reducción a la forma escalonada.

Dos sistemas de ecuaciones lineales se dicen EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones.

Reduciremos el sistema de ecuaciones

2x₁+ 3x₂+ 4x₃- x₄= 1

x₁+ 2x₂- x₃+ 2x₄= 0

(3.26) 3x₁- 2x₂+ x₃ + x₄= -1

3x₁+ 5x₂+ 3x₃+ x₄= 1

6x₁+ 3x₂+ 4x₃ + 2x₄= 0

a un sistema de ecuaciones equivalente, para hallar soluciones del mismo.

La matriz aumentada del sistema 3.26 es

2 3 4 -1 ½ 1

(3.27) 1 2 -1 2 ½ 0

3 -2 1 1 ½ -1

3 5 3 1 ½ 1

6 3 4 2 ½ 0

Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos:

1 2 -1 2 ½ 0

2 3 4 -1 ½ 1

(3.28) 3 -2 1 1 ½ -1

3 5 3 1 ½ 1

6 3 4 2 ½ 0

Restando de las filas 2da., 3ra., 4ta., y 5ª., multiplos convenientes de la 1ra., llegamos a:

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.29) 0 -8 4 -5 ½ -1

0 -1 6 -5 ½ 1

0 -9 10 -10 ½ 0

Restando de las filas 3ra., 4ta., y 5ta., multiplos convenientes de la 2da., transformamos (3.29) en

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.30) 0 0 -44 35½ -9

0 0 0 0 ½ 0

0 0 -44 35½ -9

Sumando a la 5ta. fila el negativo de la 3ra.,

1 2 -1 2 ½ 0

0 -1 6 -5 ½ 1

(3.31) 0 0 -44 35½ -9

0 0 0 0 ½ 0

Las matrices (3.27), (3.28.) , (3.29), (3.30) y (3.31) son matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, lo cual se probará en la próxima sección. Por lo tanto las soluciones de (3.26) son exactamente las soluciones del sistema

(3.32) x₁ + 2 x₂ - x₃ + 2x₄ = 0

- x₂ + 6x₃ - 5x₄ = 1

- 44x₃+35x₄ = - 9

En el cual se han eliminado las dos últimas filas por ser irrelevantes.

Dando valores a x₄ se hallan diferentes soluciones por sustitución regresiva.

Las operaciones por filas que denotaremos de ahora en adelante OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS son:

1. Intercambio de dos filas.

2. Multiplicación (o división) de una fila por un número diferente de cero.

Sustitución de una fila por su adicion (o sustracción) con un múltiplo de otra fila.