ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

 

Introducción

 

Iniciare el tema tratando de explicar que es una ecuación diferencial, por lo que nos apoyaremos en los siguientes conceptos:

 Hasta ahora hemos representado la derivada de y=f(x) por la notacón.

 

 

Pero el símbolo  no debe considerarse como una fracción ordinaria, con dy como numerador y dx como denominador, sino como un símbolo que representa el limite del cociente  cuando  tiende a cero.

 Si  es la derivada de  para un valor particular de x, y  es un incremento de x, arbitrariamente elegido, la diferencial de  , que se representa el símbolo , se define por la igualdad

………………………….(1)

Si f(x) =  x, entonces =1 por lo que la expresión anterior se reduce a la siguiente igualdad dx =

 Así, cuando x es la variable independiente, la diferencial de x, es idéntica a . Por lo tanto, si y=f(x), a ecuación 1 puede escribirse de manera general de la forma:

 Es decir, que la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

 En forma geométrica se puede representar de la forma siguiente.

 

 

 

 

 

 

 

  En la figura, la curva y=f(x), sea la derivada f’(x) el valor de la derivada en P.

 

Si tomamos al segmento dx=PQ Entonces.

 

dy= f’(x)dx = (tg r) PQ

=

 Por lo que, dy o sea, df(x), es el incremento QT de la ordenada de la tangente, correspondiente a dx.

 Por lo que dy representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en P.

 Se debe observar en la figura que la diferencial dy y el incremento  no son en general iguales. En la figura dy=QT y =QP’, pero serán aproximadamente iguales cuando dx= PQ sea pequeño.

 

 Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o

diferenciales, por ejemplo.

 

 ………………     (2)       

 La  ecuación 2 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.  La siguiente ecuación es una ecuación diferencial de segunda orden, llamada así por el orden de la derivada.

 

 

 La derivada de mayor orden que aparece en una ecuación diferencial puede ser afectada de exponentes. El mayor exponente indica el grado de la ecuación diferencial. Por ejemplo, en la siguiente ecuación diferencial, en donde y’ y y’’ son respectivamente la primera y segunda derivada de y con respecto x, es de segundo grado y de segundo orden.

 

Y’’2= (1+y’2)3

 

 En una ecuación diferencial, a la cantidad que se va a diferenciar, y, se le conoce con el nombre de variable dependiente, a la cantidad respecto a la cual se va a derivar y se le llama variable independiente. Cuando la función incluye una variable independiente, se llama ecuación diferencial ordinaria o EDO, que están en contraste con las ecuaciones diferenciales parciales EDP, que comprenden dos o más variables independientes.

 

 Una solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria  (EDO),  es una función específica de la variable independiente y de sus parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original.

 

 

 

 La cual es un polinomio de cuarto orden, ahora, si se deriva la ecuación, se obtiene la EDO.

 

Por lo anterior, las ecuaciones  diferenciales como entes matemáticos, forman una de las ramas de la matemática moderna más estudiada  Esto es una gran parte por el hecho de que describen situaciones físicas reales. A esta parte de análisis matemático se le llama Modelación de sistemas.

 

Algunos ejemplos que se pueden mencionar son:

 

La razón de su utilización es que en general las leyes físicas se expresan en términos de razones de cambio.

 

Por ejemplo:

(dT/dP) = -0.27(T-60)(7/5)

 Es una ecuación que describe la razón de cambio de la temperatura en relación con la presión. Esta ecuación diferencial es de primer orden, debido a que el orden de la derivada es uno.

 Con la cual, concluimos que existen ecuaciones diferenciales de distintos tipos. Y que para cada uno existe un método especial de solución.