Método de la regla falsa.

Este método también conocido como regula falsi del latín, es un método iterativo para encontrar raíces de un polinomio real, por lo cual sólo obtiene raíces reales.

El método se basa en la suposición que existe una recta secante que corta en un punto en una curva cualquiera.

Este método se basa en el método de la bisección y el método de la secante, mediante la ecuación. Este método de forma general converge más rápidamente que el método de bisección.

Para mostrar el procedimiento se mostrara un ejemplo paso a paso en la búsqueda de una raíz por este método , la función sobre la cual se trabajara se muestra a continuación:

Cabe mencionar que este al ser un método numérico rara ves es exacto motivo por el cual desde el inicio es importante fijar un error máximo permisible, esto con el fin de saber en que momento detener la iteraciones, porque el método en condiciones normales en cada iteración se acerca más, entonces lo se que busca es que el f(x) se aproxime lo más al cero. Para el caso de este ejemplo se busca que f(x) no sea mayor a 0.001

A continuación se muestra la gráfica de la función en el segmento de x[1,2], y precisamente lo que se buscará es ver con precisión donde corta f(x) el eje x, dado que es ahí donde existe una raíz real.

Como se pudo apreciar la grafica corta el eje de las x entre 1.5 y 2, pero normalmente se necesita un valor mas preciso, por lo cual se comienza a explicar el método de posición falsa.

Primer paso.

Se determina un segmento en el que se encuentre una raíz para ello es posible usar el teorema de Bolzano para ver si dicho segmento contiene una raíz.

X_izq=1 x_der=2

f(x_izq)=f(1)=-10 f(x_derr)=f(2)=10

Como existe un cambio de signo en las funciones evaluadas se acepta que existe una raíz.

Segundo paso

Empieza la sección iterativa:

Iteración 1.

Se determina una x_m mediante la formula:

Tercer paso

Se evalúa el valor de x_m en la función.

Se compara si el valor obtenido ya es una solución factible.

|-1.625| > 0.001

como sucede esto se continua iterando.

Pero antes de determina cual será la nueva x_m, y esto se hace siguiendo el criterio

Si f(x_m) < 0 entonces x_izq tomara el valor de x_m, en caso contrario x_der tomara el valor de x_m

Entonces dado que f(x_m) es negativo la xizq será remplazada por la xder, quedando así

xizq=1.5	xder=2
f(xizq)=-1.625	f(xder)=10

Al seguir estos pasos de forma iterativa se obtiene la siguiente tabla

xizq	xder	xm	f(xm)
1	2	1.5	-1.625
1.5	2	1.569892473	- 0.2125300109
1.569892473	2	1.578843317	-0.02694863188
1.579975226	2	1.580118134	-0.0004296319045

Se compara si el valor obtenido ya es una solución factible.

|-0.0004296319045| < 0.001

Como se cumple la condición de error se acepta la raíz en x=1.580118134

Particularidades del método.

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo [x_izq, x_der] en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de la función evaluada en los puntos x_izq y x_der.

Este método une los puntos f(x_izq) y f(x_der) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una posición falsa de raíz.

Como se mencionó anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo.

Se considera nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde se ha agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función  que es continua en el intervaloy además,  y  tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos  ,  . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje , hacemos :

Multiplicando por  nos da:

Finalmente, de aquí despejamos :

Este punto es el que toma el papel de  en lugar del punto medio del método de bisección.

Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:

El reemplazo de la curva por una línea recta da una "posición falsa" de la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa. También se le conoce como método de la interpolación lineal. 

Referencias.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_regla_falsa