INTEGRACION POR CUADRATURA GAUSSIANA

 

 

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [ a, b ] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación

 

 

 

 

Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los limites de integración a [ -1, 1 ] mediante la siguiente formula:

 

Z = 2x – (a+b)

2a

 

Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

 

f(x) = f( (b-a)Z + (a+b))

2                              2

 

Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.

 

dx = b-a dz

2

 

Por ultimo determinamos el numero de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras mas puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.

 

No. de Puntos

Coeficientes Wi

Raices Zi

2

W1 = W2 = 1.0

-Z1 = Z2 = 0.5773502

3

W2 = 0.88888

W1= W3 = 0.55555

Z2 = 0.0

-Z1 = Z3 = 0.7745966

4

W2 = W3 = 0.6521451549

W1 = W4 = 0.3478548451

-Z2 = Z3 = 0.33998104

-Z1 = Z4 = 0.861136311

5

W3 = 0.56888888

W2 = W4 = 0.4786286705

W1 = W5 = 0.2369268850

Z3 = 0.0

-Z2 = Z4 = 0.53846931

-Z1 = Z5 = 0.90617984

 

 

 

 

 

 


                                                 = (7 ln |7| - 7) - (3 ln |3| - 3) = 6.6213 - 0.2958

 

                                                 = 6.32546

 

x = 3 = z = 2(3) - (3+7) = 6 - 10 = -4 = -1

                        7 - 3                 4            4

 

x = 7 = Z = 2(7) - (3+7) = 14 - 10 = 4 = 1

                        7 - 3                   4           4

 

ln |x| = f( 7-3  z  +  3+7 ) = f( 4  z  +  10 ) = 2Z + 5 = ln |2z + 5|

                  2              2              2           2 

 

dx = 7-3 dz = 4 dz = 2z

          2          2

 

7                       1                                        1

∫ln |x|dx = ∫ ln |2z+5| 2 dz = 2 ∫ ln |2z+5| dz

3                      -1                                       -1              

 
 

 

 

 

 


Usando Gauss para 5 puntos:

 

1    

∫ f(z) dz

-1                

 
 

 


                    = w1 * f(z1) + w2 * f(z2) + w3 * f(z3) + w4 * f(z4) + w5 * f(z5)

 

 

 

 

 

 

 

 

Aplicando el método

 

     1 

2 ∫ln |2z+5|dz

    -1              

 
 

 

                             = 2 (0.2369268850 * [ln |2(-0.9061798459) + 5|]

                                 + 0.4786286705 * [ln |2(-0.5384693101) + 5|] 

                                 + 0.5688888889 * [ln |2(0) + 5|]

                                 + 0.4786286705  * [ln |2(0.5384693101) + 5|]

                                 + 0.2369268850  * [ln |2(0.09061798459) + 5|] =

 

=2(0.274664819+ 0.654224278 + 0.915591345 + 0.863685939 + 0.390263182)

 

= 2(3.098429563) = 6.196859127

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CUADRATURA DE GAUSS

 

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración  f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

 

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los limites a y b. La parte (a)  de la figura muestra como se integraría  usando un trapezoide: uniendo el punto A  de coordenadas  (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un  segmento de recta  P1(x)  Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

 

                                   T= h / 2 [f(a) + f(b)],

 

Y que podía escribirse como

 

          T  = W1 f(a) + W2 f(b)

 

Donde W1 = W2 = h / 2

 

Por otro lado en la aplicación  de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

 

 

    

                                                           

  METODO                                                        METODO                                              

TRAPEZOIDE                                 DE GAUSS CON DOS  PUNTOS

 

 

Gauss  se propuso desarrollar una formula del tipo.

 

            A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)

Ya que esto simplificaría relativamente el calculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2  W1 y W2 Entonces hay  cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer.

Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

 

En general si se desea calcular   dx se cambia el intervalo de integración con la siguiente formula.

 

                        Z= 2x – (a + b)  /  b – a

 

Ya que si x = a, Z = - 1  y si  X = b, Z = 1

 

El integrando f(x) en términos de la nueva variable  queda

 

                                   F(x)  = F ( b – a / 2  (z) + a + b / 2)

 

                                   dx=  b – a / 2 dz

Una cuestión importante es que el método de gauss  puede extenderse a tres o más puntos en generar el algoritmo  tienen la forma

 

 

dz = A = W1 F (Z1) + W2 F(Z2) + W3 F (Z3) + ………+ Wn F (Zn)

 

Donde se han calculado los valores de Wi  y Zi  por usar  la tabla mustra estas constantes. Con dos puntos el método de gauss esta diseñado para obtener exactitud  en polinomios cúbicos con tres se tendrá  exactitud  en polinomio de cuarto grado y así sucesivamente.

 

 

Numero de                            coeficientes wi                            abscisas zi

Puntos

 

      2                                      W1 = W2 = 1.0                        - Z1 = Z2 = 0.5773502692

 

 

3                                     W2 = 0-888888                           -Z1 = Z3 = 0.7745966692

         W1 = W2 = 0.55555                              Z2= 0.0

 

     4                                     W1 = W4 = 0.3478548451           -Z1 = Z4 = 0.8611363116                               

                                             W2 = W3 = 0.6521451549          -Z2 = Z3 = 0.3399810436

 

 

EJERCICIO.

 

Integre la función  1 /       e – x2  / 2   en el intervalo   (- 0.8 , 1.5) por cuadratura de gauss.

SOLUCION

A)    Con dos puntos 

Cambio de límites de la integral con la ecuación

 

Z =  2x - (a + b) / b – a   

 

X  (- 0.8) = 2(-0.8) – (.7)  / 2.3 = - 1

X  (1.5) =   2 (1.5) – (.7)  / 2.3 =   1 

 

              Si X = 0.8, z = - 1 Si X = 1.5, Z = 1

 

Con el cambio de la función en términos de la nueva variable z queda

 

I = 1 /      dx

 

I =  1 /      [1.5 – (-0.8) /2] e – [1.5 – (-0.8)/ 2 Z + - 0.8 + 1.5 / 2 ] 2 / 2 dz

 

I = 2.3 /  2  e – (2.3 Z + 0.7)2  /  8 dz

De l a tabla  W1 =W2 = 1.0;  - Z1 = Z2 = 0.5773502692  al evaluar  la función  del integrando en Z1, Z2

 

F (0.5773502692) =  e – [2.3 (0.5773502692)+ 0.7] 2 / 8 = 0.5980684

F (-0.5773502692) =  e – [2.3 (-0.5773502692)+ 0.7] 2 /8 = 0.9519115

 

Se aplica la ecuación

 

I = 2.3 /  2  [1(0.5980684)+1(0.9519115)]= 0.711105

 

B)    CON TRES PUNTOS

 

       W1 = W2 = 0.55555 W2  = 0.88888

       -Z1 = Z3 = 0.7745966692 Z2 = 0.0

 

Al evaluar la función del integrando en Z1, Z2, Y  Z3

 

I=  2.3 /  2  [0.5555 (0.4631)+ 0.88888 (0.9405)+0.5555 (0.8639) ]= 0.721825