Integración por cuadratura de Gauss

 

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración  f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

 

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación:

 

Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1] mediante la siguiente formula:

 

Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

 

Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.

 

Para tal caso queda la siguiente función:

 

Este caso fue resuelto con dos puntos pero el método de Gauss puede extenderse a 3, 4 ó más puntos, el algoritmo general ya en función de z tiene la forma de:

Así también puede expresarse de la siguiente forma:

Donde los valores de wi y zi se extraen de la siguiente tabla:

 

No. de Puntos

Coeficientes wi

Raíces zi

2

w1 = w2 = 1.0

-z1 = z2 = 0.5773502

3

w1= w3 = 0.55555

w2 = 0.88888

-z1 = z3 = 0.7745966

z2 = 0.0

4

w1 = w4 = 0.3478548451

w2 = w3 = 0.6521451549

-z1 = z4 = 0.861136311

-z2 = z3 = 0.33998104

5

w1 = w5 = 0.2369268850

w2 = w4 = 0.4786286705

w3 = 0.56888888

-z1 = z5 = 0.90617984

z3 = 0.0

-z2 = z4 = 0.53846931

6

w1 = w6 = 0.1713244924

w2 = w5 = 0.3607615730

w3 = w4 = 0.4679139346

-z1=z6=0.9324695142

-z2=z5=0.6612093865

-z3=z4=0.2386191861

 

Por ultimo determinamos el número de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras más puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.

 

 

El método de cuadratura de Gauss está diseñado para que cuando se use dos puntos obtener exactitud en polinomios cúbicos, con tres puntos  en polinomios de cuarto grado y así sucesivamente.

 

Ejemplo 01.

Resolviendo analíticamente, por el método de "integración por partes", se tiene

Donde elegimos v = ln(x), du = dx, (luego u = x y dv = dx/x) así que queda

Se evalúa x tanto en 7 como en 3 y se tiene:

 

 

Se usa la fórmula:

 

 

 

Ahora se resuelve por cuadratura de Gauss por 3 puntos

 

 

 

 

Si se calcula de otra forma se puede ver como:

 

 

 

 

 

Usando Gauss para 5 puntos:

          

 

Aplicando el método

     1 

2 ln |2z+5|dz

    -1              

 
 

 


                             = 2 (0.2369268850 * [ln |2(-0.9061798459) + 5|]

                                 + 0.4786286705 * [ln |2(-0.5384693101) + 5|] 

                                 + 0.5688888889 * [ln |2(0) + 5|]

                                 + 0.4786286705  * [ln |2(0.5384693101) + 5|]

                                 + 0.2369268850  * [ln |2(0.09061798459) + 5|] =

=2(0.274664819+ 0.654224278 + 0.915591345 + 0.863685939 + 0.390263182)

= 2(3.098429563) = 6.196859127

 

 

 

 

 

 

 

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los límites a y b. La parte (a)  de la figura muestra como se integraría  usando un trapezoide: uniendo el punto A  de coordenadas  (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un  segmento de recta  P1(x)  Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

 

                                   T= h / 2 [f(a) + f(b)],

 

Y que podía escribirse como

 

          T  = W1 f(a) + W2 f(b)

 

Donde W1 = W2 = h / 2

 

Por otro lado en la aplicación  de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

 

 

   

                                                           

  METODO                                                        METODO                                              

TRAPEZOIDE                                DE GAUSS CON DOS  PUNTOS

 

 

Gauss  se propuso desarrollar una formula del tipo.

 

            A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)

Ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2  W1 y W2 Entonces hay  cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer.

Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

 

En general si se desea calcular   dx se cambia el intervalo de integración con la siguiente formula.

 

                        Z= 2x – (a + b)  /  b – a

 

Ya que si x = a, Z = - 1  y si  X = b, Z = 1

 

El integrando f(x) en términos de la nueva variable  queda

 

                                   F(x)  = F ( b – a / 2  (z) + a + b / 2)

 

                                   dx=  b – a / 2 dz

Una cuestión importante es que el método de gauss  puede extenderse a tres o más puntos en generar el algoritmo  tienen la forma

 

 

dz = A = W1 F (Z1) + W2 F(Z2) + W3 F (Z3) + ………+ Wn F (Zn)

 

Donde se han calculado los valores de Wi  y Zi  por usar  la tabla muestra estas constantes. Con dos puntos el método de gauss esta diseñado para obtener exactitud  en polinomios cúbicos con tres se tendrá  exactitud  en polinomio de cuarto grado y así sucesivamente.