REGLA DE SIMPSON

 

Además de aplicar la regla trapezoidal, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo si hay un punto extra a la mitad del camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola. Si hay igualmente dos puntos espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como reglas de Simpson.

 

 

Regla de Simpson 1/3

La segunda fórmula de Newton-Cotes es para una cuadrática integrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:

 

donde para este caso altura = (b-a)/2. Al sustituir  altura en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 1/3 se expresa también como:

 

donde a = xini, b = xfin y xmed = punto a la mitad del camino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.

 

 

Regla de Simpson 3/8

En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:

 

 

donde altura = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma:

 

I   (b-a)  f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).

                 8

 

Ejemplo:

Use la regla de Simpson 1/3 y 3/8 para integrar la siguiente función:

 

f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5

 

Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.

 

-        Por Simpson 1/3

 

x0 = 0

x2 = 0.8

x1 = (0 + 0.8)/2 = 0.4

 

f(x0) = f(0) = 0.2

f(x1) = f(0.4) = 2.456

f(x2) = f(0.8) = 0.232

 

Sustituimos los valores en la ecuación:

 

I   (b-a)  f(x0) + 4f(x1) + f(x2).

                                    6

I   0.8  0.2 + 4(2.456) + 0.232.

                                                6

I   1.367467

 

-        Por Simpson 3/8

 

Cada separación va a tener:

x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667

 

x0 = 0

x1 = (0 + 0.2667) = 0.2667

x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333

x3 = 0.8

 

f(x0) = f(0) = 0.2

f(x1) = f(0.2667) = 1.432724

f(x2) = f(0.5333) = 3.487177

f(x3) = f(0.8) = 0.232

 

Sustituimos los valores en la ecuación:

 

I   (b-a)  f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).

                          8

I   0.8  0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232.

              8

I   1.519170